MİKROEKONOMİ · OPTİMİZASYON

Optimizasyon
Çalışma Rehberi

Türevle yapılan mikroekonomik hesapların tamamı bir arada: toplam hasıla ve kâr maksimizasyonu, maliyet en küçüklenmesi, esneklikler, Hessian, Lagrange, fiyat ayrımcılığı ve bordered Hessian. Her konu çalışılmış adımlarla anlatılıyor.

Formül Özeti

Sınava girmeden önce gözden geçirilecek temel formüller ve koşullar. Detaylar aşağıdaki sayfalarda.

Hasıla
$$ TR(q) = p(q)cdot q,qquad MR = \frac{dTR}{dq} = 0 $$
Toplam hasılanın maksimumu MR = 0 noktasındadır.
ATC
$$ ATC = \frac{TC}{q},qquad \frac{d(ATC)}{dq} = 0 $$
Ortalama toplam maliyetin dibe inmesi.
Kâr
$$ \pi = TR - TC,qquad MR = MC $$
Kâr maksimizasyonunun birinci mertebe koşulu.
Vergi
$$ \pi = TR - t\cdot q - TC,qquad MR = MC + t $$
Birim başına vergi marjinal maliyeti yukarı kaydırır.
Esneklik
$$ \eta = \frac{\partial Q}{\partial P}\cdot\frac{P}{Q} $$
Fiyat esnekliği; |eta|=1’de hasıla maksimizur.
Çapraz esp.
$$ E_{xy} = \frac{\partial Q_{x}}{\partial P_{y}}\cdot\frac{P_{y}}{Q_{x}} $$
İkame mallarda pozitif, tamamlayıcılarda negatif.
Hessian
$$ |H|>0,\; H_{11}<0 \Rightarrow \max;quad |H|>0,\; H_{11}>0 \Rightarrow \min $$
Kısıtsız problemde ikinci mertebe koşul testleri.
Fiyat ayr.
$$ MR_{a} = MR_{b} = MC $$
Üçüncü derece fiyat ayrımcılığı dengesi.
Lagrange
$$ \mathcal{L} = f + \lambda\bigl(g - c\bigr),qquad \nabla\mathcal{L} = 0 $$
Kısıtlı optimizasyonun kurulumu.
B. Hessian
$$ \det\bar{H} > 0 \Rightarrow \max,qquad \det\bar{H} < 0 \Rightarrow \min $$
Kısıtlı problemde ikinci mertebe testi.
Maliyet min.
$$ \frac{MP_{L}}{w} = \frac{MP_{K}}{r} $$
Her harcanan lira eşit marjinal ürün getirmeli.

SAYFA 1

Toplam hasıla, maliyet ve kâr optimizasyonu

(a) · toplam hasıla maksimizasyonu

Toplam hasıla $ TR(q) = P(q)\cdot q $. Maksimum noktada hasılanın türevi sıfırdır, yani marjinal hasıla sıfırdır: $ MR = dTR/dq = 0 $. İki ayrı yorum iki örnek.

Yorum A - talep eğrisi

Talep: $ p = 20 - q/4 $. Hasılayı kurup türevi yazıyoruz.

$$ TR = p\cdot q = 20q - \frac{q^{2}}{4} $$

$$ \frac{dTR}{dq} = 20 - \frac{q}{2} = 0 \;\Rightarrow\; q = 40 $$

$$ p = 20 - \frac{40}{4} = 10,\qquad TR = 40 \cdot 10 = 400 $$

Yorum A sonucu: $ q = 40 $, $ p = 10 $ ve $ TR = 400 $. Bu, talep eğrisinin altındaki dikdörtgeni en büyük yapan (MR = 0) noktadır.

Yorum B - daha yüksek talep

Bu kez talep $ p = 80 - q/4 $ olsun. Aynı yöntem.

$$ TR = 80q - \frac{q^{2}}{4},\qquad \frac{dTR}{dq} = 80 - \frac{q}{2} = 0 $$

$$ q = 160,\qquad p = 80 - \frac{160}{4} = 40,\qquad TR = 160 \cdot 40 = 6400 $$

Yorum B sonucu: $ q = 160 $, $ p = 40 $ ve $ TR = 6400 $. İki yorum tek prensibi kullanır: $ MR = 0 $.

(b) · ortama toplam maliyet minimizasyon

Toplam maliyet $ TC = q^{2}/4 + 3q + 400 $. Ortalama toplam maliyet $ ATC = TC/q $ olur. Minimum için türev sıfıra eşitlenir.

$$ ATC = \frac{TC}{q} = \frac{q}{4} + 3 + \frac{400}{q} $$

$$ \frac{d(ATC)}{dq} = \frac{1}{4} - \frac{400}{q^{2}} = 0 \;\Rightarrow\; q^{2} = 1600 \;\Rightarrow\; q = 40 $$

$$ ATC(40) = \frac{40}{4} + 3 + \frac{400}{40} = 10 + 3 + 10 = 23 $$

ATC en küçük olduğunda $ q = 40 $ ve $ ATC = 23 $.

Önce vergi takozunu (tax wedge) görelim: alıcıya konan vergi ile satıcıya konan vergi aynı denge miktarını verir. Yasal yük kimin üzerindeyse önemli değildir; tek vergi, denge miktarını ve alıcının ödediği fiyat ile satıcının eline geçen fiyat arasındaki farkı (takoz) belirler.

Vergi takozu - rekabetçi piyasa

Talep $ P^{D} = 100 - Q $, arz $ P^{S} = Q $. Vergisiz denge:

$$ 100 - Q = Q \;\Rightarrow\; Q = 50,\quad P = 50 $$

Satıcıya $ t = 15 $ vergi konunca satıcının eline $ P - 15 $ geçer; arz $ P = Q + 15 $ olur.

$$ 100 - Q = Q + 15 \;\Rightarrow\; Q = 42.5,\quad P_{\text{alıcı}} = 57.5,\quad P - 15 = 42.5 $$

Vergi alıcıya konursa aynı mantık simetriktir ve aynı $ Q = 42.5 $ elde edilir. Önemli olan takoz 15’tir, yükün dağılımı değil.

Kâr maksimizasyonu vergi dahil

Monopolcü $ p = 100 - q $ talep eğrisiyle ve $ TC = q^{2} $ (yani $ MC = 2q $) maliyetiyle çalışsın. Birim başına $ t = 15 $ vergi kârı düşürür.

$$ \pi(q) = TR - TC - t\cdot q = 100q - q^{2} - q^{2} - 15q = 85q - 2q^{2} $$

$$ \frac{d\pi}{dq} = 85 - 4q = 0 \;\Rightarrow\; q = 21.25 $$

$$ p = 100 - 21.25 = 78.75,\qquad MR = MC + t \;\Rightarrow\; 100 - 2q = 2q + 15 $$

Vergili denge: $ q = 21.25 $ ve $ p = 78.75 $. Genel kural $ MR = MC + t $; marjinal maliyet eğrisi vergi kadar yukarı kayar.

(d) · kısmi türevler

Birden çok değişkenli fonksiyonda kısmi türev, diğer değişkenler sabit tutularak alınır. Marjinal kavramlar tam olarak kısmi türevlerdir.

Marjinal maliyetler

Maliyet fonksiyonu $ C(x,y) = x^{2}y + 3y^{2} + 5x $ olsun. Her girdinin marjinal maliyeti kendi değişkenine göre kısmi türevdir.

$$ MC_{x} = \frac{\partial C}{\partial x} = 2xy + 5,\qquad MC_{y} = \frac{\partial C}{\partial y} = x^{2} + 6y $$

Marjinal ürünler

Üretim fonksiyonu $ Q = 5L^{0.5}K^{0.3} $ olsun. Emek ve sermayenin marjinal ürünü kısmi türevleridir.

$$ MP_{L} = \frac{\partial Q}{\partial L} = 2.5\,L^{-0.5}K^{0.3},\qquad MP_{K} = \frac{\partial Q}{\partial K} = 1.5\,L^{0.5}K^{-0.7} $$

SAYFA 2

Esneklikler ve iki değişkenli optimizasyon

esneklikler

Talep esnekliği, talep edilen miktarın yüzde değişiminin fiyatın yüzde değişimine oranıdır. Mikroekonomik problemlerde nokta esnekliği kullanılır.

$$ \eta_{p} = \frac{\partial Q}{\partial P}\cdot\frac{P}{Q} $$

$ |\eta_{p}| > 1 $ ise esnek, $ |\eta_{p}| < 1 $ ise esnek değildir; $ |\eta_{p}| = 1 $ noktasında toplam hasıla maksimizur. Çapraz fiyat esnekliği, ikame mallar arasındaki tepkiyi ölçer.

$$ E_{xy} = \frac{\partial Q_{x}}{\partial P_{y}}\cdot\frac{P_{y}}{Q_{x}} $$

İkame (tamamlayıcı olmayan) mallar için çapraz fiyat esnekliği pozitiftir: $ Y $’nin fiyatı artınca $ X $’e olan talep artar. Tamamlayıcı mallarda negatif çıkar.

iki değişkenli kısıtsız optimizasyon

$ f(x,y) $ fonksiyonunun kısıtsız optimumu için önce birinci mertebe koşullar (FOC) çözülür.

$$ f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = 0,\qquad f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 $$

Bulunan noktaların türü Hessian matrisinin determinantı ve ilk asal minörü ile belirlenir.

$$ H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[2pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},\qquad |H| = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} $$

$$ H_{11} = f_{xx} $$

1
$ |H| > 0 $ ve $ H_{11} < 0 $ ise yerel maksimum.
2
$ |H| > 0 $ ve $ H_{11} > 0 $ ise yerel minimum.
3
$ |H| < 0 $ ise eyer noktası.

SAYFA 3

Çok değişkenli optimizasyon uygulaması

örnek

$ f(X,Y) = X^{3} + Y^{3} - XY $ fonksiyonunu optimize edelim. Birinci mertebe koşullar:

$$ f_{X} = 3X^{2} - Y = 0,\qquad f_{Y} = 3Y^{2} - X = 0 $$

İki denklemi birlikte çözerek kritik noktalar bulunur.

$$ Y = 3X^{2},\quad X = 3Y^{2} \;\Rightarrow\; (X,Y) \in \bigl\{(0,0),\; (\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3})\bigr\} $$

İkinci mertebe türevler ve Hessian determinantı:

$$ f_{XX} = 6X,\qquad f_{YY} = 6Y,\qquad f_{XY} = -1 $$

$$ |H| = f_{XX}f_{YY} - (f_{XY})^{2} = (6X)(6Y) - (-1)^{2} = 36XY - 1 $$

(0,0) noktası

$$ f_{XX}(0,0) = 0,\qquad |H(0,0)| = 0 - 1 = -1 < 0 $$

$ |H| < 0 $ olduğundan $ (0,0) $ bir eyer noktasıdır.

(1/3, 1/3) noktası

$$ f_{XX}(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}) = 6\cdot\tfrac{1}{3} = 2 > 0 $$

$$ |H(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3})| = 36\cdot\frac{1}{9} - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 $$

$ |H| > 0 $ ve $ H_{11} > 0 $ olduğundan $ (\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}) $ bir yerel minimum noktasıdır ve $ f = -\tfrac{1}{27} $ değerini alır.

Maksimum var mı?

$ X^{3} $ ve $ Y^{3} $ terimleri $ X $, $ Y $ büyürken sınırsız pozitif, küçülürken sınırsız negatif olur. Dolayısıyla bu fonksiyonun global bir maksimumu yoktur; yalnızca yerel minimum ve eyer noktası bulunur.

şeker firması uygulaması

İki ayrı piyasada satış yapan bir şeker firması kârını en büyüklemek için fiyat ayrımcılığı yapar. Firma toplam maliyetle $ TC(q_{1}+q_{2}) $ üretir ve iki piyasada $ p_{1}(q_{1}) $ ile $ p_{2}(q_{2}) $ talep eğrileriyle karşılaşır. Kâr fonksiyonu:

$$ \pi = p_{1}(q_{1})q_{1} + p_{2}(q_{2})q_{2} - TC(q_{1}+q_{2}) $$

$$ \frac{\partial\pi}{\partial q_{1}} = MR_{1} - MC = 0,\qquad \frac{\partial\pi}{\partial q_{2}} = MR_{2} - MC = 0 $$

$$ MR_{1} = MR_{2} = MC $$

Sayısal adımlar

$ p_{1} = 120 - q_{1} $, $ p_{2} = 160 - 2q_{2} $ ve $ TC = q^{2} $ (yani $ MC = 2q $, $ q = q_{1}+q_{2} $) olsun. Marjinal hasılalar:

$$ MR_{1} = 120 - 2q_{1},\qquad MR_{2} = 160 - 4q_{2} $$

$$ 120 - 2q_{1} = 2(q_{1}+q_{2}),\qquad 160 - 4q_{2} = 2(q_{1}+q_{2}) $$

$$ 120 - 2q_{1} = 160 - 4q_{2} \;\Rightarrow\; 2q_{1} - 4q_{2} = -40 \;\Rightarrow\; q_{1} = 2q_{2} - 20 $$

Bu ilişkiyi ilk koşulda yerine koyalım:

$$ 120 - 2(2q_{2}-20) = 2\bigl((2q_{2}-20)+q_{2}\bigr) = 6q_{2} - 40 $$

$$ 160 - 4q_{2} = 6q_{2} - 40 \;\Rightarrow\; 10q_{2} = 200 \;\Rightarrow\; q_{2} = 20 $$

$$ q_{1} = 2(20) - 20 = 20,\qquad q = 40 $$

$$ p_{1} = 120 - 20 = 100,\qquad p_{2} = 160 - 2(20) = 120 $$

Firmadan optimal: $ q_{1} = q_{2} = 20 $, $ p_{1} = 100 $, $ p_{2} = 120 $. İki piyasada da $ MR = MC = 80 $ sağlanır. Esnek olmayan piyasaya (piyasa 2) daha yüksek fiyat uygulanır.

SAYFA 4

Fiyat ayrımcılığı ve kısıtlı optimizasyon

MRa = MRb = MC kanıtı

İki piyasada üçüncü derece fiyat ayrımcılığı yapan firma, toplam üretimi sabitken kârını $ MR_A = MR_B $ sağlamak üzere dağıtır. Kâr fonksiyonu $ \pi = TR_{A} + TR_{B} - TC(q_{A}+q_{B}) $. Her piyasaya göre koşul:

$$ \frac{\partial\pi}{\partial q_{A}} = MR_{A} - MC = 0,\qquad \frac{\partial\pi}{\partial q_{B}} = MR_{B} - MC = 0 $$

İki eşitlik de $ MC $’nin iki marjinal hasılaya eşit olduğunu söyler. Birleştirince:

$$ MR_{A} = MR_{B} = MC $$

Bu eşitlik sağlanmazsa, hasılayı bir piyasadan diğerine kaydırmak kârı artırır. Dengede yüksek esneklikli piyasa düşük fiyat, düşük esneklikli piyasa yüksek fiyat alır.

kısıtlı optimizasyon: yerine koyma yöntemi

$ \max\; U(x,y) = xy $ kısıt $ 2x + y = 100 $ olsun. Kısıttan $ y = 100 - 2x $ yazılıp amaç fonksiyonuna yerleştirilir.

$$ U = x(100 - 2x) = 100x - 2x^{2} $$

$$ U'(x) = 100 - 4x = 0 \;\Rightarrow\; x = 25,\qquad y = 100 - 50 = 50 $$

kısıtlı optimizasyon: Lagrange yöntemi

Aynı problem Lagrange ile: lagranjiyen kurulur, üç değişkende FOC çözülür.

$$ \mathcal{L}(x,y,\lambda) = xy + \lambda\,(100 - 2x - y) $$

$$ \mathcal{L}_{x} = y - 2\lambda = 0,\qquad \mathcal{L}_{y} = x - \lambda = 0,\qquad \mathcal{L}_{\lambda} = 100 - 2x - y = 0 $$

$$ y = 2\lambda,\quad x = \lambda \;\Rightarrow\; y = 2x $$

$$ 100 - 2x - 2x = 0 \;\Rightarrow\; x = 25,\qquad y = 50,\qquad \lambda = 25 $$

İki yöntem de aynı çözümü verir: $ x = 25 $ ve $ y = 50 $. $ \lambda $ kısıtın gölge fiyatıdır.

SAYFA 5

Bordered Hessian: ikinci mertebe koşulları

kurulum

Kısıtlı problemlerde ($ g(x,y) = c $) optimumun türü bordered Hessian ile doğrulanır:$ H = \bigl(\tfrac{\partial^{2}\mathcal{L}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\bigr) $ ve kısıt türevlerinden oluşan çerçeve. İki değişkenli bir problem için, amaç $ f(x,y) $ ve kısıt $ g(x,y) = c $ ise:

$$ \bar{H} \;=\; \begin{pmatrix} 0 & g_{x} & g_{y} \\[2pt] g_{x} & f_{xx} & f_{xy} \\[2pt] g_{y} & f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} $$

Burada $ f_{xx} $ ve $ f_{xy} $ ikinci mertebe kısmi türevlerdir. İkinci mertebe koşullar:

$$ \det(\bar{H}) > 0 \;\Rightarrow\; \text{yerel maksimum},\qquad \det(\bar{H}) < 0 \;\Rightarrow\; \text{yerel minimum} $$

Sezgi: çerçeve $ g_{x} $ ve $ g_{y} $ kısıt türevlerini taşır. Bu yüzden koşullar, sıradan Hessian’dan (kısıtsız durumdaki) işaret olarak tersine döner.

çözümlü örnek 1

$ f(x,y) = xy $ kısıt $ g(x,y) = 2x + y - 100 = 0 $. Lagranjiyen $ \mathcal{L} = xy + \lambda(100 - 2x - y) $ ile FOC’lar $ x = 25, y = 50 $ verir. İkinci türevler:$ f_{xx} = 0 $, $ f_{yy} = 0 $, $ f_{xy} = 1 $, $ g_{x} = 2 $, $ g_{y} = 1 $.

$$ \det(\bar{H}) = -f_{xx}g_{y}^{2} + 2f_{xy}g_{x}g_{y} - f_{yy}g_{x}^{2} $$

$$ \det(\bar{H}) = -0\cdot 1 + 2(1)(2)(1) - 0\cdot 4 = 4 > 0 $$

$ \det(\bar{H}) = 4 > 0 $ olduğundan bu bir yerel maksimumdur.

çözümlü örnek 2

Maliyet en küçüklemeyi doğrulamak için $ f = wL + rK $ en küçüklensin, kısıt $ g = LK - Q_{0} = 0 $ olsun. Burada $ f_{x} = f_{y} = 0 $, amaç $ x $ ve $ y $’de doğrusal olduğundan $ f_{xx} = f_{xy} = f_{yy} = 0 $ olur; $ g_{x} = K $, $ g_{y} = L $.

$$ \det(\bar{H}) = 0 - 2 f_{xy} g_{x}g_{y} + 0 = -2(0)(K)(L) = 0 $$

Bu örnekte ikinci türevlerin sıfır olması determinantı sıfır yapar; teşhis için kalkınma üretim fonksiyonu kullanılmalıdır. Aşağıda Sayfa 6’da$ Q_{0} = L^{a}K^{1-a} $ ile tam hesaplanır.

SAYFA 6

Maliyet en küçüklenmesi

kurulum

Firma verilen $ Q_{0} $ çıktısını en düşük maliyetle üretmek ister: $ \min \; TC = wL + rK $ kısıt $ f(L,K) = Q_{0} $. Lagranjiyen:

$$ \mathcal{L} = wL + rK + \lambda\bigl(Q_{0} - f(L,K)\bigr) $$

$$ \mathcal{L}_{L} = w - \lambda f_{L} = 0,\qquad \mathcal{L}_{K} = r - \lambda f_{K} = 0,\qquad \mathcal{L}_{\lambda} = Q_{0} - f(L,K) = 0 $$

İlk iki koşulu oranlayarak teğetlik koşulu (tangency) elde edilir:

$$ \frac{w}{r} = \frac{f_{L}}{f_{K}} = \frac{MP_{L}}{MP_{K}} = MRTS_{L,K} $$

Maliyet en küçükleyen firma, emeğe harcanan son doların ve sermayeye harcanan son doların aynı marjinal ürünü verdiği noktada üretir: $ \frac{MP_{L}}{w} = \frac{MP_{K}}{r} $. İki girdi de verimlilik eşitliği ilkesiyle kullanılır.

İkinci mertebe koşul: bordered Hessian

Minimum olduğundan emin olmak için bordered Hessian’ın determinantı sıfırdan küçük olmalıdır. $ f(L,K) = L^{a}K^{1-a} $ örneğinde ikinci türevler:

$$ f_{LL} = a(a-1)L^{a-2}K^{1-a},\quad f_{KK} = (1-a)(-a)L^{a}K^{-a-1},\quad f_{LK} = f_{KL} = a(1-a)L^{a-1}K^{-a} $$

$$ \det(\bar{H}) = -f_{LL}f_{K}^{2} + 2f_{LK}f_{L}f_{K} - f_{KK}f_{L}^{2} $$

$ 0 < a < 1 $ için $ f_{LL}, f_{KK} < 0 $ ve $ f_{LK} > 0 $ olduğundan determinantın işareti $ f_{LL}f_{K}^{2} + f_{KK}f_{L}^{2} > 0 $ ve $ \det(\bar{H}) < 0 $ çıkar. Bu da bize bir minimum olduğunu söyler.

Ekonomik yorum

Teğetlik koşulu, üretim fonksiyonunun eğimiyle maliyet doğrusunun eğimini eşittir: burada üreten firma, hangi girdiye harcanan ek bir lira daha fazla çıktı veriyorsa ona kayar. Denge her harcanan liranın aynı marjinal ürünü getirdiği noktadır ve maliyet doğrusu izikant üzerinde en altta temas eder.

Optimum noktada her zaman bir koşul testi uygula: kısıtsız problemler için Hessian $ |H| $, kısıtlılar için bordered Hessian $ \det\bar{H} $. İşaretlerine her soruda yeniden dikkat et, çünkü birinde maksimumu diğerinde minimumu verirler.